Tunele imaginare

TUNELE IMAGINARE

PRIN PAMANT

    Intalnita sub forma de problema sau sub forma de “curiozitate”  in fizica distractiva , tunelul ce strabate Pamantul prin care cad corpuri de la suprafata

Acestuia ofera cititorului nu numai destindere si amuzament , dar si interesante consideratii de ordi stiintific. Astfel , imaginandu-ne ca un corp de masa m cade de la suprafata Pamantului prin centrul acestuia , se pune problema determinarii legii miscarii acestui corp , cat si a caracteristicelor

miscarii.

 Daca notam cu Mp - masa Pamantului , evident m << Mp.

Pentru a gasi ecuatia miscarii corpului de masa m presupunem ca la un moment dat corpul se afla la distanta r < Rp de centrul O al Pamantului

( Rp – raza Pamantului ). Corpul va interactiona gravitational numai cu portiunea de masa  M a Pamantului avand raza r . Prsupunand Pamantul sferic si de densitate constanta , forta ce actioneaza asupra corpului de masa m are valoarea :

                                                           

F(r) = -gmM / r²                     (1)

Dar :

 

M / Mp = (r / Rp ) ³   =>  M = Mp (r / Rp ) ³ .                    (2)

Inlocuind cea de-a doua relatie in prima se obtine :

F(r) = -gmMpr / Rp³ = -Kr    (3)         

in care prin g s-a notat constanta atractiei universale , iar prin

k = gmMp / Rp³     (4)                                   

o constanta de proportionalitate.

    Din expresia fortei rezulta ca asupra corpului de masa m actioneaza o forta de tip elastic si care imprima deci acestuia o miscare oscilatorie avand pulsatia :

            

                                          1           1          1

w = ( k / m )  = ( gMp / Rp ³ )     = ( go / Rp )   ,     (5)        

in care go = gMp / Rp ² reprezinta acceleratia gravitationala la suprafata Pamantului .

Perioada acestei miscari rezulta a fi :

                                                                        1

T = 2p / w = 2p ( Rp  / go )   .  (6)                      

                      

                                                                                               6

Inlocuind in relatia perioadei  Rp = 6370 km = 6,37 * 10 m si

go = 9,81 m / s² ,  rezulta T = 5 * 10³ s = 84,3 min .

    Ecuatia miscarii oscilatorii armonice este de forma :

y = rmax sin (wt + j ) .   (7)

Cum la t = 0 , rmax = Rp (corpul cade de la suprafata Pamantului ) , rezulta ca sin j = 1 => j = p / 2 si deci

                                                  1                                              1

y = Rp  sin [ t ( go / Rp ) + p / 2 ] = Rp cos [ t ( go / Rp ) ] .  (8)

 Ca urmare viteza si acceleratia corpului de masa m sunt :

u = wrmax cos ( wt + j )   (9)

a = - w² rmax sin ( wt + j )   (10)

Avand in vedere miscarea oscilatorie si ecuatia miscarii , acceleratia si viteza corpului capata forma :

            

                                     1             1

u = - ( go*Rp )   sin [ t ( go / Rp )  ] ;  umax = ( go*Rp ) .  (11)

      1

a = - go  cos [ t ( go / Rp )  ] ;  amax = go .   (12)

Din prima relatie se constata ca viteza maxima a corpului reprezinta prima viteza cosmica ( viteza unui satelit artificial pe o orbita situata in imediata vecinatate a suprafetei Pamantului ) .

                                                               1

u = u1 = ( go*Rp )   = 7,9 km / s .

Aceasta viteza este atinsa atunci cand corpul trece prin centrul Pamantului

si , dupa cum se stie , ea reprezinta o valoare caracteristica a campului gravitational al planetei noastre .

    Cititorul poate constata usor ca aceasta valoare a vitezei se poate obtine usor prin considerente de ordin energetic , aplicand legea conservarii energiei corpului scrisa pentru centrul Pamantului .

Din relatia acceleratiei corpului rezulta ca ea este maxima la suprafata Pamantului .

    Asadar corpul lasat sa cada prin acest tunel ajunge la celalalt capat in aproximativ 42 minute fara nici un consum de energie ( daca neglijam frecarile ) si revine in acelasi punct dupa aproximativ 48 minute care reprezinta perioada miscarii oscilatorii a corpului .

    Aceeasi perioada o are si satelitul artificial al Pamantului ce se misca pe o traiectorie circulara in imediata vecinatate a acestuia ( teoretic la suprafata Pamantului , h = 0 ) .

    In fond , miscarea corpului de masa m in tunelul imaginar care trece prin centrul Pamantului poate fi descrisa ca proiectia pe diametrul AB (prima

figura ) a miscarii circulare a unui satelit artficial in jurul Pamantului , in imediata vecinatate a suprafetei acestuia , asa cum se studiaza de regula , elementar miscarea oscilatorie armonica . Este de consemnat apoi faptul ca aceeasi perioada ( T = 84,3 minute ) o are si un pendul gravitational cu lugimea l = Rp care ar oscila la suprafata Pamantului . De asemenea este interesant si faptul ca pentru o lungime a pendulului , L care ar tinde la infinit perioada este aceeasi .

    In sfarsit , daca tunelul care traverseaza Pamantul ar fi imaginat pe directia unei corzi ( nu a unui diametru ) al Pamantului , corpul de masa m va aveaaceeasi miscare oscilatorie armonica cu perioada T = 84,3 min , cu deosebirea ca de aceasta data ecuatiile miscarii devin :

                                     1

y = | Rp cos a | cos [ t ( go / Rp ) ] .   (13)

                        1                  1

u = - | ( go*Rp )  cos a | sin [ t ( go / Rp ) ] .   (14)

                                      1

a = - | go  cos a | cos [ t ( go / Rp ) ]  ,   (15)

in care prin a s-a notat unghiul pe care il face coarda cu diametrul AB .

    Toate rationamentele facute au suportul unor “ tunele imaginare “ ce s-ar face prin Pamant .

     Tehnic si tehnologic  asemenea tunele , prin care s-ar putea valorifica energia gravitationala a planetei pe care traim , nu sunt deocamdata posibile  Desigur ca intr-un viitor previzibil cercetarile care se fac astazi vor pune in valoare noi cai de utilizare a energiei gravitationale printre care , de ce nu , si aceasta cale care pentru momentul de fata reprezinta doar un joc de inteligenta .